De naturliga talen

Den tyske matematikern Leopold Kronecker (1823–1891) är bl.a. känd för sitt uttalande att ”Gud har skapat de naturliga talen, resten är människans verk”. Det råder i och för sig en viss oenighet om vilka de naturliga talen är. Att talen 1, 2, 3, 4, … o.s.v. hör dit är okontroversiellt, men det är oklart om även 0 är ett naturligt tal. Det finns argument både för och emot – kanske är det en fråga för teologin.
       Och hur många naturliga tal finns det? Alla verkar vara överens om att de är oändligt många. Men hur vet man det? Det följer visserligen av de vanliga axiomen för de naturliga talen – som brukar kallas ”Peanos axiom” – men hur vet man att dessa axiom är sanna?
       Man kunde kanske säga att vissa människor helt enkelt har bestämt att de är sanna. Det går förstås inte så bra ihop med tanken att det är Gud som har skapat de naturliga talen. Och vi föreställer oss väl gärna att talen har en sorts objektiv existens, att de är oberoende av oss människor och vad vi har kommit överens om. Att talet 0 ska räknas till de naturliga talen kan vi bestämma eller vara oense om, men vi kan knappast bestämma om huruvida det alls finns.
       Det är inte heller självklart att Peanos axiom är sanna. Delvis kan de kanske te sig oproblematiska, men det är inte självklart att det finns oändligt många naturliga tal. Rent språkligt kan vi förstås tala om ”efterföljaren” till ett vilket som helst tal. Om n är ett naturligt tal, så kan vi säga att efterföljaren till n är n + 1. Men att vi har ett namn som ”n + 1” garanterar ju inte att det också finns något som detta namn är ett namn på.
       Kan det överhuvud taget finnas oändligt många föremål av ett visst slag? Det må vara hänt att vi inte kan upptäcka en gräns för hur många de är, men att det inte skulle finnas någon gräns är närmast obegripligt. Det låter nästan som en självmotsägelse att en samling föremål som verkligen existerar inte skulle utgöra ett bestämt antal.
       Eller ska man tro att de naturliga talen inte är några ”föremål”, utan att de inte är någonting alls. Och att de alltså inte existerar. Matematiken handlar kanske inte om någonting, dess individuttryck betecknar kanske ingenting. Leopold Kronecker skulle då ha tagit dubbelt miste: de naturliga talen existerar lika lite som Gud själv. Det skulle lösa oändlighetsproblemet, eftersom det då alltså inte finns oändligt många naturliga tal; det finns nämligen inga alls. Matematiken är då bara ett manipulerande med siffror och andra krumelurer, enligt vissa helt godtyckliga regler. Men hur ska man i så fall förklara att delar av matematiken är så till synes användbara inom empiriska vetenskaper som exempelvis fysik? Och varför skulle vi då tro att vissa matematiska satser är sanna?
       Någon skulle kanske vilja säga att talen är ”sociala konstruktioner”. Men det duger inte. Vi kan säga att det är en social konstruktion att en viss människa är statsminister i Sverige eller att en viss papperslapp är en hundrakronorssedel. Men i dessa fall är det alltså fråga om att ett föremål, som existerar objektivt, oberoende av oss – t.ex. en människa eller en bit papper – har en viss egenskap som är beroende av mänskliga tankar, beteenden och överenskommelser. Det är egenskapen som är konstruerad, inte föremålet. Men när det gäller de naturliga talen är ju frågan som själva föremålen alls existerar. Att de sedan har egenskapen att vara ”naturliga tal” kunde nog vara en social konstruktion, men om de inte finns, så kan de ju inte ha någon egenskap alls.
       Visserligen kunde man säga att de naturliga talen är sociala konstruktioner i den meningen att de definieras av Peanos axiom, som i sin tur har konstruerats och accepterats av människor. Men då finns de bara i ungefär samma mening som personerna och händelserna i en roman finns. Som rena fantasifoster!
       Om man vill rädda tanken att talen existerar oberoende av oss kan man hävda att de finns i en sorts abstrakt platonsk idévärld. De finns alltså inte i den fysiska verkligheten eller enbart i våra fantasier, utan som verkliga men abstrakta objekt, utan rumstidliga eller kausala samband med fysikaliska eller psykologiska förhållanden. Men i så fall har vi ingen som helst anledning att tro att Peanos axiom är sanna. Varför skulle de råka stämma överens med förhållandena i en av oss helt oberoende abstrakt värld? Om de matematiska objekten inte har några kausala relationer till oss, så kan de inte påverka våra intuitioner om vilka de är. Så även om många framstående matematiker – t.ex. Kurt Gödel – har tänkt i sådana banor, så verkar det vara en ganska hopplös position.